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(上一章大段重复,发不出来,分两段)。
巨大基数:V中存在一个初等嵌入j:V→M从V到一个具有临界点K的可传递内模型,那么这个它就是所谓的巨大基数,也就是j(K)M?M。
伍丁基数:(在强基数后)
f:λ→λ存在一个基数κ<λ和{f(β)|β<κ}和基本嵌入j : V→M来自冯诺依曼宇宙V进入可传递的内部模型M和临界点κ和V_j(f)(κ)?M一个等效的定义是这样的:
λ是伍丁当且仅当λ对所有λ来说都是非常难以接近的
A?V_λ存在一个λ_A<λ这是<λ-A-strong的
超强基数:当且仅当存在基本嵌入 j :V→M从V到具有临界点κ和V_j(κ)?M
类似地,基数κ是n-超强当且仅当存在基本嵌入j : V→M从V到具有临界点κ和V_jn(κ)?M 。
Akihiro Kanamori已经表明,对于每个n>0,n+1-超强基数的一致性强度超过n-huge 基数的一致性强度。
强紧致基数:当且仅当每个κ-完全滤波器都可以扩展为κ-完全超滤器时,基数κ是强紧凑的。
强紧基数最初是根据无限逻辑定义的,其中允许逻辑运算符采用无限多的操作数。常规基数κ的逻辑是通过要求每个运算符的操作数数量小于κ来定义的;那么κ是强紧致的,如果它的逻辑满足有限逻辑紧致性的模拟。具体来说,从其他一些陈述集合中得出的陈述也应该从基数小于κ的某个子集合中得出。强紧性意味着可测性,并被超紧性所暗示。鉴于相关基数存在,与ZFC一致的是第一个可测基数是强紧基数,或者第一个强紧基数是超紧基数;然而,这些不可能都是真的。强紧基数的可测极限是强紧的,但至少这样的极限不是超紧的。强紧性的一致性强度严格高于伍丁基数。一些集合论学家推测强紧基数的存在与超紧基数的存在是等一致的。然而,在开发出超紧基数的规范内模型理论之前,不太可能提供证明。可扩展性是强紧凑性的二阶类比。
超紧致基数:如果M?M,则称κ为λ超紧基数;如果对任意为λ≥κ,κ为λ超紧基数,则称k为超紧基数。
若κ是超紧基数,则存在κ个小于k的超强基数。
假设N是一个ZFC的模型, δ是一个超紧基数, 如果对任意λ>δ, 存在Pδ (λ) 一个δ
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